Sonsuz Toplamlar

süreklilik ve sonsuzla ilgili olan 4'ü (2 tanesini henüz açıkladık), matematik açısından oldukça önemli çünkü bun­lar 17. yüzyılda Newton ve Leibniz'in birbirlerinden bağımsız olarak keşfet­tikleri sonsuz küçükler hesabının ta­rihsel gelişimindeki ilk basamak. Bir Hata Olmalı Anlattıkları korkunç derecede ik­na edici olan Zenon'un bir yerlerde hata yaptığına inanmak için oldukça geçerli sebeplerimiz var. Her fleyden önce biliyoruz ki hareket etmek im­kansız değil (tabii ortada bir sağlık problemi olmadığı sürece). Bir yerler­de bir hata olduğu açık! Ya biz yan­lış biliyoruz ya da Zenon, bir yerler­de yanlış olduğunu hiç kimsenin fark edemediği bir bilgiyi doğru kabul ediyor. Sonsuz Toplam Kapıya ulaşamama hikayesine dö­nelim. Alabileceğimiz yolu bulabil­mek için flu sonsuz toplamı hesapla­mak gerekir.

Varsayalım ki bugün sizin için uzun ve yorucu bir gündü, neyse ki bitti. Bir parça dinlenebilmek için koltuğunuza şöyle bir oturdunuz. Ne kadar yorulmuş olduğunuzu ancak o zaman gerçekten anlayabildiniz. Hem dinlenip hem de keyifli vakit ge­çirebilmek için elinize derginizi alıp okumaya koyuldunuz. İşte tam bu sı­rada kapı çaldı. Bulunduğunuz nok­taya yaklaşık 10 metre uzaklıkta bu­lunan kapıya gidip onu açmak o an için yeryüzündeki en zor iş olsa ge­rek. Genelde pratik düşünmekten ya­na olan beyniniz bu sefer tam aksine, içinizdeki üflenme dürtüsünün baskı­sıyla olsa gerek, ortaya teorik düşün­celer atmaya başladı: "Varsayalım ki kapıyı açmak üzere yerimden kalktım ve ilk ham­lemi yaparak 10 metrelik yolun ya­rısını gittim. Daha sonra geriye ka­lan 5 metrelik yolun da yarısını git­tim ve geriye 2,5 metrelik yolum kaldı. Bu yolun da yarısını gitmeyi başarsam bile geriye her zaman bir miktar yolum kalacak ve kalan yo­lu asla sıfırlayamayacağım. Sonuç olarak kapıya ulaşmam mümkün değil, yerimden kalkmama gerek yok!" Tam noktayı koymuştunuz ki aç­lık hissiniz, üflenme dürtünüzü bas­tırmaya başladı. Kapıya gelenin size yemek getiren iyi bir arkadaşınız ola­bileceği düşüncesine kapıldınız. Ama beyniniz az önce kendi kendini kan­dırmak için oynadığı oyuna o kadar

inandı ki geri adım atmanın yolunu bulmak kolay olmadı: "Varsayalım ki yanlış hesaplama sonucu aslında 10m olan kapı ile aramdaki mesafenin 20m olduğunu düşündüm. O zaman ilk hamlede yolun yarısını yani 10m yolu gider kapıya tek hamlede varırım!" İşte şimdi kapıya varacağınıza ik­na oldunuz ve gerçekten de oturdu­ğunuz yerden kalkıp kapıya gittiniz. Açıp baktınız ki kimsecikler yok. Siz düşünürken kapıdaki misafir gitmiş olmalı! Bu durumun suçlusu mate­matik mi dersiniz? Zenon'un Meflhur Paradoksu Zenon'a göre teorikte, az önce an­latılan örnekte olduğu gibi, koltuktan kapıya gitmek imkansızdır. Hatta ha­reket etmek imkansızdır çünkü kapı­ya gidecek kişi önce ilk 5 metreyi git­meli ve bu 5 metreyi gidebilmek için önce onun yarısı olan 2,5 metreyi git­meli ve beklendiği üzere bu 2,5 met­relik yolu da gidebilmesi için önce onun yarısını gitmeli. Kısacası, bıra­kın yolu tamamlamayı, bulunduğu yerden bir arpa boyu ileri gitmesi bile imkansızdır ve bu nedenle hareket im­kansızdır. M.Ö. 450'lerde yaşamış olan Zenon'un, 40 tane paradokstan bahsettiği kitabı günümüze kadar ulaşmış olmasa bile pek çok farklı kaynak sayesinde onun hakkında bil­gi edinebiliyoruz. Bu 40 paradokstan

bir uzunluk verir. Teoride bu hesap yapılamaz ama pra­tikte sonuç 10'dur yani teori ile pra­tik arasında bir uçurum mevcuttur, bu da paradoksun çıkış noktasıdır. Oysa ki bu sonsuz tane sayıyı topla­dığımızda gerçekten de '10' gibi son­lu, elle tutulur gerçel bir sayı elde ediyoruz. Ama Zenon, sonsuz tane pozitif sayıyı toplayınca sayının sü­rekli büyüyeceğini ve bir gerçel sayı­nın elde edilmesinin mümkün olma­yacağını düşündüğünden bu kabu­lün yanlışlığından hiç şüphelenme­miş. Kabul etmek gerekir ki, Ze-non'un tezinin çeldiricilik düzeyi ol­dukça yüksek.

BİLİM ve TEKNİK

Riemann-Zeta Fonksiyonu Bir serinin yakınsak olduğu belir-lense bile toplamın kaç olduğunun bu­lunması uzun zaman alabiliyor. Bu uğurda verebileceğimiz en ünlü örnek: 1

Bizim genelde bildiğimiz fonksiyon­lar eklinde yani fonksiyonun ‘ siyle ifade edilir. Bu fonksiyonsa adını, ifade edildiği zeta (S) harfinden ve 1859 yılında bu fonksiyonla ilgili çok önemli bir hipotezi, Riemann Hipotezi­ni, ortaya atan sahibi Bernhard Rie-mann'dan almış. Zaman içinde s'nin hangi sayı değerleri için fonksiyonun yakınsak ya da ıraksak olduğu bulun­muş. Söz gelimi s=1 için seri ıraksak ve s'in 1'den büyük tüm değerleri için seri yakınsak. Ama yakınsak olduğu­nun bulunmuş olması bu fonksiyonun mevcut sorunlarını çözmeye yetmiyor, herbir s değeri için bu sonsuz topla­mın bir de cevabını hesaplamak gereki-

Sürekli büyüdüğü size açık gelme-diyse, bir de flu yolu deneyin: Serinin kısmi toplamının, yani 1'den k'ya kadar olan toplamının, k sonsuza giderken li­mitine bakın. Bu toplam formülünü ge­çen yazımızdan hatırlayacaksınız:

Sonsuz Diziler ve Sonsuz Toplamlar Sonsuz bir dizi doğal sayılardan gerçel sayılara tanımlanmış bir fonksi­yondur. Örneğin;

Şimdi sonucun sonsuza ıraksadığı daha net, yani seri ıraksak. Yazımızın başından beri bahsettiği- 1

şeklinde ifade edilir ve virgülle ayrıl­mış her gerçel sayıya dizinin bir terimi denir. Sonsuz toplam da böyle bir son­suz dizinin terimlerinin birbiriyle top­lanmasıyla elde edilen sonuçtur:

tiliğinin 6 olduğu Leonhard Euler tarafından bulunmuş. Hatta s'nin tüm çift değerleri için toplamı hesaplama yöntemi biliniyor ama tek değerlerin durumu pek içaçıcı değil. Euler'den bu yana kaydedilen tek ilerleme

Matematiğin özellikle 17. yüzyıldan sonra derin bir Şekilde yoğunlaştığı ve cevaplar bulabildiği bu tür hesapların 2200 yıl önce yaşayanlar tarafından anlaşılmamasına şaşırmamak gerekir, çünkü o zamanlar henüz limit kavra­mının bulunmasına yüzyıllar vardı. Sonsuz Tane Sayı Nasıl Toplanır Sonsuz tane sayıyı toplamak çok zor değil ama toplamaya geçmeden ön­ce yapılması gereken önemli bir işlem var: serinin yakınsak mı yoksa ıraksak mı olduğuna karar vermek, ya da diğer bir değişle sonucun bir gerçel sayı olup olmadığını belirlemek. Örneğin flu serinin sonsuza ıraksa­dığı gayet açık:

Bu ifadenin limiti de 1’e gider. Yani 1 metrelik yolun önce yarısını, sonra kalanın yarısını ... giderseniz gerçek­ten de 1 metrelik yolu tamamlarsınız çünkü bu sonsuz toplam 1’e eşittir. Bu sayede teoriyle pratik arasında yüzyıl­lardır süregelen uçurumu nihayet orta­dan kalkmış olur. Kısmi toplam bulmak her zaman bu kadar kolay değildir işte bu nedenle karşımıza çıkan her seri için ıraksaktır, yakınsaktır ya da yakınsaksa toplamı şudur demek kolay değil. Yakınsaklığı anlamak için pek çok test geliştirilmiş. Bu testleri kullanarak bir serinin ya­kınsak olduğu kolayca belirlenebiliyor. Hiçbir teste uymayan seriler de var. Hala yakınsak mı ıraksak mı olduğu belirlenemeyen flu seri gibi:

serisinin irrasyonel bir

sonuç verdiği (Roger Apery,1977). Bu­nun dışında şimdiye kadar elde edilmiş baflka bir gelişme yok. Sadece hesap makinası ile elde edilmiş sonuçlar ve o sonuçalara bağlı yürütülen tahminler. Belki de matematik bu soruları cevap­lamak için hala ortaya çıkmamış yeni kuramları ya da % ve e gibi yeni irras­yonel sayıları bulmayı beklemektedir ve insanlığın bu sonuçlara ulaşması için birkaç yüzyıl daha uğraşması ge­rekmektedir. Nilüfer Karadağ Kaynakça: http://plus.maths.org/issue19/features/infseries/checker.jpg Eric W. Weisstein. "Harmonic Series." From MathWorld-A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HarmonicSeries.html

Ocak 2006 63 BİLİM ve TEKNİK